Латакот (latakot) wrote,
Латакот
latakot

Categories:

Парус, обгоняющий ветер

По пожеланию френда ppk_ptichkin после долгих споров в КЖП я изложу здесь свои соображения о том, может ли парусник обогнать ветер, и каким образом это возможно.
То, что парусник при боковом ветре развивает скорость, в несколько раз превышающую скорость ветра, общеизвестно. Речь о другом: может ли он превысить скорость ветра В НАПРАВЛЕНИИ ВЕТРА?
Вот такая, например, задача. На льду озера выбраны две точки A и B, расстояние между ними 2100 м, ветер дует точно по направлению от A к B со скоростью 7 м/с, так что от A до B он долетит за 300 с = 5 мин. Может ли буерист под парусом добраться от A до B за время, меньшее 5 минут?
Это кажется невозможным. Любой парусник при попутном ветре движется медленнее ветра.
Но если двигаться не по прямой AB, а как-то иначе?
Попробуем разобраться. Это будет длинновато и интересно не всем, поэтому - под кат.

Я не придумал, как поместить чертеж в журнал, поэтому давайте сделаем его по описанию. Возьмем тетрадный лист в клетку и проведем посредине горизонтальную линию - это будет направление движения буера, ось x. Посредине на оси поставим жирую точку O - начало координат - там будет мачта буера. Из нее начертим стрелку в точку с координатами (5; 5) (5 клеток вправо и 5 вверх) - пусть она изображает скорость ветра относительно земли, обозначим ее V0. Если клетка соответствует 1 м/с, то длина этой стрелки равна корню квадратному из 50, т.е., скорость ветра примерно 7.07 м/с. Буер идет вправо, его скорость V изобразим горизонтальной стрелкой. Какой длины? Если взять 10 клеток, то ее проекция на направление ветра будет ровно 7.07 м/с... Давайте скорость V нахально изобразим стрелкой длиной 15 клеток! И посмотрим, что из этого получится.
Угол между векторами V и V0 обозначим α, в нашем примере α = 45 градусов.
Скорость ветра относительно движущегося судна называется вымпельным ветром W. К ветру V0 добавляется встречный ветер -V, в результате вектор скорости вымпельного ветра W имеет координаты (-10; 5) - нарисуем и эту стрелку из точки O. Вектор W образовл с осью x
острый угол β; в нашем примере β = arctg0.5, это примерно 26.6 градусов.
Разделим этот угол примерно пополам линией OP, взяв точку P с координатами (-8; 2); эта линия изображает плоскость паруса. Угол β разделился на два угла: β = φ + ψ; пусть будет φ - угол между плоскостью паруса и продольной осью буера, а ψ - между плоскостью паруса и направлением вымпельного ветра W ("угол атаки").
Вот и весь чертеж. Из него видно, что вымпельный ветер будет надувать парус выпуклостью кверху. При этом сила давления складывается из двух сил:
1) подъемной силы F1, возникающей при обтекании выпуклости паруса струями воздуха, пропорциональной квадрату тангенциальной составляющей скорости ветра:
F1 = a (W cos ψ)^2
2)силы сопротивления F2, пропорциональной квадрату нормальной к парусу составляющей скорости:
F2 = b (W sin ψ)^2
Здесь a и b - некоторые коэффициенты, пропорциональные плотности воздуха и площади паруса и зависящие от его геометрии.
Обе эти силы направлены одинаково - перпендикулярно плоскости паруса, в направлении его выпуклости. Изобразим их сумму F = F1 + F2 вектором, направленным из точки (-4; 1) - центра паруса - в точку (-2; 9).
Проекция вектора F на ось x равна Fд = F sin φ - это сила, движущая буер вперед. Именно вперед, несмотря на то, что мы в полтора раза обгоняем ветер!
Мы не учли еще тормозящих сил. Сила лобового сопротивления самого буера F3 пропорциональна квадрату x-компоненты вымпельного ветра и направлена против скорости V:
F3 = c(W cos β)^2
Сила трения коньков о лед F4 может считаться константой.
Сумма этих двух сил - тормозящая сила Fт = F3 + F4 - направлена против движения и противодействует движущей силе Fд.
Пока Fд больше, чем Fт, результирующая сила будет ускорять буер.
При достижении равенства Fд = Fт движение буера станет равномерным.
Конечно же, интересно, при какой скорости V это произойдет. Но для ее вычисления нужно знать несколько констант, которые нам неизвестны. Из общих соображений можно полагать, что для хорошего буера сила лобового сопротивления самого буера должна быть гораздо меньше силы сопротивления паруса: с << b, а сила трения коньков о лед еще меньше; при больших скоростях ею вообще можно пренебречь.
Коэффициенты a и b – где-то одного порядка.

Итак, запишем условие равенства сил Fд = Fт:
(a (W cos ψ)^2 + b (W sin ψ)^2) sin φ = c(W cos β)^2 + F4 ______(1)

Сделаем ряд упрощений:
- для больших скоростей W отбросим пренебрежимо малую силу F4;
- после этого члены уравнения можно сократить на W^2;
- поделим все члены уравнения на a и обозначим b/a = B, c/a = C;
- и наконец, примем условие φ = ψ = β/2, т.е., парус удерживается именно на биссектрисе угла между осью буера и вымпельным ветром (может быть, это не оптимальное условие, но близко к оптимальному).
Тогда
( (cos β/2)^2 + B (sin β/2)^2) sin β/2 – C(cos β)^2 = 0 ______(2)

Используем
sin β/2 = sqrt((1- cos β)/2); cos β/2 = sqrt((1+ cos β)/2)
Обозначив для краткости cos β = x, получим
(1 + x + B (1 – x )) sqrt(1-x) = 2 sqrt(2) C x^2 ________ (3)
Корень этого уравнения - предельное (наибольшее) значение cos β,
соответствующее наибольшей возможной скорости v. Теперь надо
перейти от x к V.

Из нашего чертежа и тригонометрии:
V - V0 cosα = W cos β
V0 sin α = W sin β
W^2 = V^2+V0^2 – 2 V V0 cosα
W/V0 = sqrt(1+(V/V0)^2 – 2 V/V0 cos α)

Обозначив V/V0 = z, получим
cos β = x = (z – cosα)/sqrt(1 + z^2 – 2 z cos α)________ (4)
откуда для z имеем квадратное уравнение
z^2 - 2 cosα z + 1 – (sin α)^2/(1-x^2) = 0 ________ (5)

Уравнение (3) решается графически (Excel), затем решается уравнение (5); в результате при α = 45 градусов получено:
При B = 1
_C_____х_____z = Vmax/V0
0.1___0.981___4.283
0.2___0.938___2.621
0.3___0.888___2.073
0.4___0.840___1.802
0.5___0.797___1.640

При B = 0.5
__C_____х____z = Vmax/V0
0.1___0.981___4.283
0.2___0.937___2.604
0.3___0.883___2.037
0.4___0.832___1.768
0.5___0.786___1.606

Отсюда видно:
1) при малом лобовом сопротивлении C < 0.3 достижимы скорости, более чем в 2 раза превышающие скорость ветра; при этом и составляющая скорости в направлении ветра превышает V0;
2) поэтому в задаче, сформулированной вначале, подветренная точка B достижима из точки A за время, меньшее, чем AB/V0, если двигаться не по прямой AB, а приняв AB за диагональ квадрата, двигаться по двум сторонам этого квадрата (хотя это, наверное, не оптимальный путь);
3) результаты слабо зависят от коэффициента В, характеризующего отношение коэффициента сопротивления паруса к коэффициенту его подъемной силы, особенно при малых углах β (больших скоростях), где подъемная сила играет главную роль.
4) о как.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 90 comments